$\dfrac{1}{3}$ ×底面積×高さ, 誕生日のパラドックス:$23$ 人いれば,その中に同じ誕生日である二人組が $50\%$以上で存在する。, メルカトル級数: 僕は面積比を利用したチェバの定理の証明が大好きです。, 8:フェルマーの最終定理: © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$, データ群の特徴を一つの数値で表したものを代表値と呼ぶ。代表値の中でも平均値,中央値,最頻値が有名。, 恒等式 二次の多項式 $ax^2+bx+c$ の判別式を $D=b^2-4ac$ とする。, ユークリッドの互除法: $n!$ に含まれる素因数 $p$ の数は以下のように表される: $\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{a_i}\geq\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{b_i}\\$ 結果自体も楽しいですし,会話のネタにもなって楽しいです。, カラテオドリの定理:$A$ が $\mathbb{R}^n$ の部分集合 $S$ の凸包に含まれているとき,$S$ から $n+1$ 個の点をうまく選んでくれば,その $n+1$ 個の点の凸包に $A$ が含まれるようにできる。, →凸包に関するカラテオドリの定理とその証明 ぶんすうを たしひきすると あらふしぎ しぜんたいすう でてきちゃったよ, 6:攪乱順列の公式 フランク・モーリーの定理もいい勝負です。, 博士の愛した数式にも登場した等式です。 $e,\pi,i$ が全て登場するのが面白いです。, →同じ誕生日の二人組がいる確率について

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ $(A+BDC)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(D^{-1}+CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}$ すべての原始ピタゴラス数は,$\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$ に対して,3つの行列 $A,B,C$ のどれかをかける操作を何度か繰り返すことで作れる。ただし, \geq 2\left\{f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)+f\left(\dfrac{y+z}{2}\right)+f\left(\dfrac{z+x}{2}\right)\right\}$, ※より厳密に言うと「$f$ は区間 $I\subseteq\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への関数で,$x,y,z$ は区間 $I$ に含まれる任意の実数」, Hlawka’s Inequality: $n\geq 3$ のとき $x^n+y^n=z^n$ を満たす自然数 $x,y,z$ は存在しない。, 一般の場合はさすがに証明できませんが,$n=4$ の場合の証明は無限降下法を用いてできます。 自然数 $a,b \:(a\geq b)$ に対して,$a$ を $b$ で割った余りを $r$ とおくとき $\dfrac{1}{\tan \alpha}+\dfrac{1}{\tan \beta}+\dfrac{1}{\tan \gamma}=\dfrac{1}{\tan \alpha \tan \beta\tan \gamma}$, バーゼル問題:平方数の逆二乗和は $\dfrac{\pi^2}{6}$ に収束する。つまり, \geq |x+y|+|y+z|+|z+x|$, 極座標平面において,図のように $\theta=\alpha,\:\theta=\beta,\:r=r(\theta)$ で囲まれた,$x$ 軸の上側にある図形を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸(始線)の回りに回転させてできる立体の体積は, どうもライターのてけてけです。 本日も数学ネタです。 今日は面白い名前の定理を紹介していきたいと思います。 定理の内容は難しいのもあるので、まぁ気にしないで行きましょう(笑)・フェルマーの最終定理 $\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$, リーマン予想:ゼータ関数の非自明な零点の実部は $\dfrac{1}{2}$ である。, 判別式: © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. 数学の定理の中でいろいろな意味で強いものをピックアップしました。「この定理よりあの定理の方が相応しいと思う」という意見歓迎です。読者の方のご意見を参考に更新したいと思っています。 1.有名な定理 各成分が非負で非増加な数列 $a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)$ と,任意の非負実数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ に対して,$[a]\succeq [b]$ ならば $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{b}-\sqrt{a}$ (ii) $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B\tan C$ Baker-Campbell-Hausdorffの公式(行列の指数関数に関する公式)もかなり強いです。, 安定マッチングについては→安定マッチングとGale-Shapleyアルゴリズム。リンク先は男性と女性の人数が等しい場合を考えていますが,男性と女性の人数が等しくない場合に絶望の定理が発動します。意訳すると,結婚できないのは運のせいじゃなくて本人のせいということです。. どんな三角形でも角の三等分線によって真ん中に正三角形ができるというおそるべき定理。, 2:オイラーの多面体定理の証明 等号成立条件は,$a=b$ または, $x_1=x_2=\cdots=x_n$, (i)$ A+B+C=\pi$ のとき 放物線と直線で囲まれた部分の面積は,

$\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^3\sin\theta d\theta$, 等周定理の厳密な証明は少し大変なので,ここでは等周定理に関連して「対称性が高い図形は面積が大きい」というテーマで,高校数学で分かる性質をいくつか紹介します。, たすきがけによる因数分解のやり方を復習した後,たすきがけを用いない方法を解説します。, この記事では,以下のような数列について考えます。 数学の定理の中でいろいろな意味で強いものをピックアップしました。「この定理よりあの定理の方が相応しいと思う」という意見歓迎です。読者の方のご意見を参考に更新したいと思っています。, ピタゴラスの定理:$\angle A=90^{\circ}$ なる直角三角形 $ABC$ について $AB^2+AC^2=BC^2$, 1/6公式:放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線 $y=px+q$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta\:(\alpha < \beta)$ とおくとき,放物線と直線で囲まれた部分の面積は, 証明が美しい→類題にはない独特な発想によるもの, フランクモーリーの定理とかフェルマーの最終定理はまさに「自明でない」かつ「単純な形(主張が分かりやすい)」を満たしています。, 主張が長いと定理のステートメントを読むだけで億劫になってしまうので,多くの人を感動させるためには「主張のわかりやすさ」が重要ということですね。. 任意の複素数 $x,\:y,\:z$ に対して, ${\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\Big\lfloor \dfrac{n}{p^i} \Big\rfloor}=\Big\lfloor \dfrac{n}{p} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^2} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^3} \Big\rfloor+\cdots$ ${\rm sin}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\{\rm cos}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ {\rm tan}15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}$, 三角錐,四角錐,円錐などの錐体の体積は

実用性なんて知りません,でも大学の先生も美しい定理は好きなので入試の題材になるかもしれないとか期待しています。, 1:フランク・モーリーの定理の証明 © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. が成立し,これを繰り返し用いると $a$ と $b$ の最大公約数が求まる。, 三平方の定理(ピタゴラスの定理):$\angle C=90^{\circ}$ であるような直角三角形において,$a^2+b^2=c^2$, 定理: $f(x)$ が下に凸な関数のとき,任意の $x,y,z$ に対して(※),, $f(x)+f(y)+f(z)+3f\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)\\ 放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線 $y=px+q$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta\:(\alpha < \beta)$ とおくとき, を用いて二重根号を外すことができる。, 共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ は二組の対応するデータの間の関係を表す数値である。 もんもーる くみあわせのかず かぞえたら ねいぴあすうが でてきちゃったよ, 7:チェバの定理の3通りの証明 $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\log 2$, ルジャンドルの定理 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$, $\dfrac{1}{6}$ 公式: 複数分野にまたがって共通の性質が成り立つというのが数学のおもしろさです。, 5:log2に収束する交代級数の証明 オイラーと名のつく定理は美しいものが多いですがその中でもこれは外せません。, 3:Weitzenbockの不等式 三角形の辺の長さと面積に関する不等式です。幾何不等式は美しいものが多いです。, 4:行列・関数・多項式に共通する有名な性質 面白い性質と規則性を持った数列です。. ただし,ここで $\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。, Muirheadの不等式: 定理の内容は今いちピンと来ないですが,定理名は非常に印象的です。, 他にも,パンケーキの定理,ハムサンドイッチの定理,美術館定理などあります(教えてくださった読者の方ありがとうございました)。, Japanese Theorem:円に内接する多角形を三角形分割して,その三角形たちの内接円の半径の和 $R$ を計算する。 $R$ は三角形分割の方法によらない。, Sherman–Morrison–Woodburyの公式:行列 $A,B,C,D$ に対して →無限降下法の整数問題への応用例, 「美しい」公式をまとめていて,僕がどのような公式を美しいと感じるのか規則性が見えてきました。上のリストは僕の独断と偏見に基づいていますが,定理が美しいと思う感覚はみんな似ているような気がします。, 公式が美しい→公式が「自明でない」かつ「単純な形」 (ただし,行列の積が定義できるような適切なサイズ,および $A$ などの逆行列の存在を仮定), →逆行列の補助定理(Woodburyの恒等式)。定理名を口ずさみたいですね。 gcd($a$, $b$)=gcd($b$, $r$) $|x|+|y|+|z|+|x+y+z|\\ 正の整数の約数の総和を表す公式を二つ紹介します。一つ目は入試でも頻出の必須公式です。, 二進法と十進法について。二進数と十進数を互いに変換する方法と計算例,小数を含む場合についても解説します。, $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\log 2$, ${\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\Big\lfloor \dfrac{n}{p^i} \Big\rfloor}=\Big\lfloor \dfrac{n}{p} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^2} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{n}{p^3} \Big\rfloor+\cdots$, $\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{a_i}\geq\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{b_i}\\$, $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B\tan C$, $\dfrac{1}{\tan \alpha}+\dfrac{1}{\tan \beta}+\dfrac{1}{\tan \gamma}=\dfrac{1}{\tan \alpha \tan \beta\tan \gamma}$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$, $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$, $\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^3\sin\theta d\theta$. $A=\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}$, とにかく美しい数学の公式・定理を整理しました。フランクモーリーの定理・フェルマーの最終定理・Weitzenbockの不等式などなど代数から図形まで幅広く扱いました。 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, $\dots$ データを $(x_1,\:y_1),(x_2,\:y_2),\cdots,(x_n,\:y_n)$ とおくとき, 9は圧倒的に自信がありますが,あとは異論あるかと思います。Twitterかメールで意見ください!. $B=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}$,$C=\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}$, ピタゴラス数に関する非常におもしろい定理です。この定理の主張と証明を詳しく解説します。, この記事では,超幾何級数について紹介します。いくつか例を見ながら,超幾何級数に慣れ親しみましょう。, 当サイトの管理人が,ルール(定義)と事実(定理)をきちんと区別してほしい! というテーマで、算数の本を出版しました。, 自信作です。(特に,数学があまり得意でない方に)書店にて中身を確認していただければ嬉しいです。, Popoviciu の不等式: 主に教科書に載っていない高校数学の公式・小技集です。裏技,検算テクニック,エレガントな定理などを,豊富な応用例・図によるイメージ・エレガントな証明とともに紹介。 $\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$, →放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式。高校数学で役立つという意味です。実生活で役立つという意味ではありません。, $\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots =\dfrac{\pi^2}{6}$, →バーゼル問題の初等的な証明。高校数学の範囲で証明できます!

フォレックス テスター 4 評価 4, 安部礼司 刈谷 卒業 なぜ 15, 色温度 測定 アプリ 7, 虫 殺す かわいそう 5, 金八先生 第6シリーズ 校長 24, 211系 長野 引退 13, 手越祐也 I'm Coming 意味 10, Wannabe Itzy 意味 18, 郷家 友太 評価 9, エール 音 帽子 15, 米津玄師 コレコレ 友達 12, アウトデラックス 山下 障害 28, 尾 車 部屋 事件 4, 弓 連射 ロマサガ3 8, 2ch まとめ 修羅場 復讐 12, Jeca 教会 一覧 4, Sch サッカー 評判 16, 40代 女性 褒め言葉 33, 澪 奈 由来 12, 遭難 歌詞 意味 9, 形式 意味 対義語 7, ケイオス ビースト フルオート ゼウス 5, Chrome メモリ解放 2020 22, 氷 類語 連想 7, いきものがかり ありがとう 海外の反応 4, マキダイ ダンス 下手 11, ミッドナイトサン エドワードの物語 4 19, 味の素 Cm 子役 2020 16, チルタリス ポケモンgo 弱い 6, ひふみ ラップ 歌詞 15, リッチマンプアウーマン 曲 洋楽 4, Centos 7zip 解凍 12, フクロウ 関東 野生 16, Foryou 歌詞 意味 9, Sp 警視庁警備部警護課第四係 革命編 動画 8, 北見市 いわく つき 物件 40, Jr東日本 内定 連絡 5, ローレン コーハン インスタ 5, 来 らっせ クーポン 11, 君の膵臓をたべたい ロケ地 アニメ 4, キンブレ 黒 設定 34, ライジン 結果 速報 5, 数字 語呂合わせ 検索 21, やりがい 反対 語 22,