ちなみに、先ほどのプログラムで高さを0 mにすると、45度という結果がちゃんと返ってきます。このように数値計算で解くと、簡単に解を求めることができます。, 物理の基本的な問題である放物運動について、運動方程式を解いて最大の飛距離がでる発射角度を解析的・数値的に求めました。数値的に解く方法は解析的に解くことのできない問題を解くためには必要な技術です。これを土台に数値計算について深く理解していきたいと考えています。, 最後までお読みいただきありがとうございます。それでは、次回の記事でお会いしましょう。, 0 people found this article useful 物体を投げるときに、どの角度で投げればより遠くまで届くかを考えてみます。物. 39 0 obj 計算するのは、放物運動で物体を最も遠くに飛ばすことのできる発射角度です。よく45度で発射すると最もよく飛ぶと言われますが、どうでしょうか。計算して確かめてみましょう。, 高さから初速度, 角度で質量の物体を射出することを考えます。 <> メーカーで研究開発の仕事をしています。このブログでは、私の専門分野である半導体やそれに関連する内容を紹介していきます。 Theme: WP Knowledge Base by iPanelThemes.com. xڽˎ��^_�/�J��� @�� �IH�`O�l�E&��e?�$۴E�vUuЗ.Q��7E����ǿ.��姇l�h�n>~��� x�h�w���v��?4�]l�� ����E�8�[7��9������V7N��sM�����Qq�vة�� �؄Gwq�v�a�ӆ���B��#��8,U8�a�!B� <>/PageLayout/OneColumn/PageMode/UseNone/Pages 34 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences<>>> This article was helpful, はじめまして!”あおやぎ”と言います。 このoptimize.brentを使って次のようなプログラムを書きます。, 初速度と物体を発射する高さは適当な値を入れてあります。このプログラムで計算した結果では、最大飛距離は101.3 m, そのときの角度は42.2度と計算されました。45度よりもわずかに低い角度で投げるのが一番良いという結果が得られました。 36 16 �;`�d�D�p�;x - 1 - 放物運動解答のポイント 初速度v0,水平との角度θで、高さhの所から投げあげるとき、 t秒後の速度 vx=v0cosθ・・① vz=v0sinθ-gt・・② t秒後の位置 x=v0cosθ・t・・③ (水平飛行距離) 1 z=v0sinθ・t- gt2 +h・・④ (高さ)

座標を下図のように設定すると、時刻のときの物体の座標は、次式のようにあらわされます。, 飛距離を最大にできる角度を厳密に求める前に、ある程度の角度を予想しましょう。まず、高さが0の場合を考えます。このとき、式(3)は、, 世間で広く言われている45度で投げると一番遠くまで飛ぶというのはこの計算がもとになっています。物体を高い位置から投げることを想定しない場合であれば、確かに45度で投げるのが正しいです。, 次に高さが十分に高いときを考えてみます。高さが十分に高いときというのは、のときです。このとき、式(3)は、, となる。式(5)から高さが十分に高いときには飛距離はで変化し、飛距離が最大になるのは水平に射出した時になります。, 近似を使わずに最大飛距離になる角度を計算するには、式(3)をで微分し、導関数が0になるときのを計算することで、求められます。ですが、で微分するのは計算が煩雑になります。今、射出角度は0 ~ 90度を想定しています。このとき、は単調に増加することから、のとき、が成り立ちます。そこで、として、式(3)を整理すると、, を満たすのとき、飛距離が最大になるということが計算できました。ここまでくれば、を使って計算することができます。, 今回は、運動方程式を解くことで解析的に飛距離が最大になる角度を求めることができました。ですが、必ず解析的に解くことができるとは限りません。今回は考慮していませんが、実際には空気抵抗や摩擦の影響も含めないと、現実の物体の動きを予測することはできません。そうなると、解析的に解ける場合はほとんどありません。解析的に解けない場合は、数値的に解を求めることになります。放物運動を題材にpythonで数値的に最大飛距離になる角度を求めてみたいと思います。, pythonの科学計算ライブラリのScipyを使って、計算します。Scipyには、最小値を求める関数optimize.brentが用意されています。 アシアル情報教育研究所Youtubeチャンネル

�&�IiD?����I�)��Y�� �'���Q�Ӓ�)��$�6Qz����UQ���O���8PTqvQTq�. xref Required fields are marked *, You may use these HTML tags and attributes:

, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。. | MonacaEducation 平均速度さえ求められれば、あとは水平位置の計算と同じです。 複数の角度でグラフを描いて比較する . 文部科学省発行「高等学校情報科『情報Ⅰ』教員研修用教材」の「学習17」にある「自然現象のモデル化とシミュレーション」では物体の放物運動のモデル化と題して、物体を投げたときの軌跡や距離などを求める「物体の放物運動のモデル化(斜方投射)」が紹介されています。こちらの内容をJavaScriptとグラフライブラリのPlotly.jsで学習する方法を紹介いたします。, まず、放物運動について考えてみることにします。 51 0 obj 0 36 0 obj %PDF-1.4

一番遠くに飛ぶ角度と一番高く飛ぶ角度を求めようという演習が教員研修資料では示されています。 複数のグラフを描画するためにコピペで対応すると可読性や保守性が悪くなるので、先� stream <<2AEA2A28297C36E78014A3055CC4743B>]/Info 35 0 R/Prev 214234/Root 37 0 R/Size 52>> 運動方程式を解く. 37 0 obj 専門学校HTML5作品アワード. Copyright © アシアル情報教育研究所 All Rights Reserved. エンジニアリングで世界をちょっとよくするノート byアシアル �>Bn#ɉU��h9Ғ�6���Qζ[��%���_/_We��ʄ�Н!�QOQB�[ ���%�)���Jl���(!�]�`M �b�N�ڠ��%����*�6-�d�B\�6�D:�v-x�u

半導体関連の知識をまとめたデータベースのようにしたいなと思っています。, Your email address will not be published. 物理の基本的な問題の一つに、放物運動があります。今回、Pythonを使った数値計算の練習として、この放物運動を題材にしようと思います。 Jetson Nano開発キット~購入から立ち上げまで~ | sciencompass. なお、研修用教材に合わせて単純化のために空気抵抗は省いてモデル化します。, 物体を投げたとき、物体は放物線を描くように一定の高さまで上昇し、途中で重力で落下して着地します。強く投げれば初速度も速くなり、高く遠くへ飛ぶはずです。また、角度によっても高やさ飛距離は変わると考えられます。それと、真上に上げた場合には飛距離は0になるはずです。, 今回は空気抵抗を省いて考えますので、水平方向への移動を妨げるものはありません。等速運動になります。重力によって地面に着地するまでずっと同じスピードで飛んでいきます。, 水平方向の速度は「初速度」と「角度」が分かれば三角関数のコサインを使って求められます。コサインはMathの機能で呼び出せるため以下のような記述で求められます。, もし空気抵抗だけじゃなくて重力も無視して良いのであれば、ずっと落下せず、投げた方向に等速運動でずっと飛んでいって宇宙の果てまで飛んでいけるのですが、重力があるので徐々に鉛直方向への速度は減少していきます。そして重力に負けて鉛直方向への速度はマイナスになり最後は地面に着地します。, 鉛直方向の初速度も「初速度」と「角度」が分かれば三角関数のサインを使って求められます。サインもMathの機能で呼び出せるため以下のような記述で求められます。, 「25.980762113533157」という数字が得られました。 <> endstream 地球の重力加速度は9.8m/s²なので1秒ごとに速度が9.8m/s変化します。 endobj <> endobj %���� 放物運動の最大到達距離を与える仰角を簡単に導く方法 工藤友裕∗ 原 ... 検証した,微分計算を用いずにこの仰角を表す関係式を導 く方法である.この方法はとても簡単である事から,既に 遠い昔からわかっていた事である可能性もあるが,あまり 一般的ではないので初等物理関連の文献等� endobj 角度60度で投げた場合には水平方向の速度より鉛直方向の速度の方がだいぶ速いようですね。, しかし、鉛直方向には重力があります。 38 0 obj ※ 引数を省略したときには適当な初速度と角度と色を適応するようにしています。, 放物運動の計算をシミュレーション関数に任せることにしたのでグラフ描画部分は非常に簡単になります。, あんこエデュケーションはアシアル情報教育研究所が運営しております。更新情報の確認はSNSやRSSをご活用下さい。, アシアル株式会社 <> endobj stream startxref %%EOF 数値計算を始める前にまず初めに運動方程式を解いて、物体の飛距離を計算します。 高さ から初速度, 角度 で質量 の物体を射出することを考えます。 座標を下図のように設定すると、時刻 のときの物体の座標は、次式のようにあらわされます。 0000000015 00000 n 0000000726 00000 n 0000001240 00000 n 0000001348 00000 n 0000003964 00000 n 0000004055 00000 n 0000004220 00000 n 0000004463 00000 n 0000031812 00000 n 0000032738 00000 n 0000032882 00000 n 0000036169 00000 n 0000036415 00000 n 0000083012 00000 n 0000084620 00000 n 0000001002 00000 n trailer Proudly powered by WordPress

�X �0-��_Ɣ�|`’f{�X8�00027p�n;!y�l��[��g�g���� �;�;�n�9��{�4/� � � �y��b��U���`�S�0{�*ַ2��� .Vf`v�Ҍ@� ,�=� 複数のグラフを描画するためにコピペで対応すると可読性や保守性が悪くなるので、先にプログラムを改造してシミュレーション部分を「関数化」してから描画してみることにします。, 放物運動の初速度と角度とグラフの色を引数で指定できる関数を作成します。また、返り値でグラフ描画ライブラリが必要とする情報を返せるようにします。 体を投げる角度をθそして初速度をV 0 として計算 します。 鉛直上方をY軸の+方向、 物体が飛んでいく水平方向をX軸の+方向として物体.

x�c```�W,b�@(� 約25m/sの速度で「鉛直投げ上げ」した物体は約2.5秒(約25m/s)で落下しはじめます。, ちなみに、初速度30m/sというのは時速に直すと108km/hなので、時速108km・角度60度で投げた球が約2.5秒で地面に落下しはじめ、約5秒後には着地するという話とも言えます。, 以下は変数定義部分のソースコードです。ラジアンの計算、水平方向の初速度計算、鉛直方向の初速度計算が含まれています。また、x,y,vx,vyはは時間間隔毎の値を「配列」で記録するため、若干複雑です。, 確認のためにconsole.log()で各値をログに書き出していますので確認してみて下さい。, 諸条件を変数で定義したらループ処理で時間間隔毎の物体の位置や加速度を計算します。時間間隔が0.01秒で繰り返し上限が1000なので最大10秒分を計算しますが鉛直位置が0未満になった時点で着地と見なしてループ処理を中断します。, なお着地による中断処理を行わないと、斜方投射した物体が高いところから落下し続ける様子をシミュレーションできます。, 水平方向に秒速15mで進んでいたとしたらdtは0.01秒なので0.15m移動した距離が追加されます。, 鉛直方向の速度はdt秒毎に変化しているため、鉛直位置の計算をするためには平均速度を求める必要があります。平均速度を求める式は以下の通りです。, 一番遠くに飛ぶ角度と一番高く飛ぶ角度を求めようという演習が教員研修資料では示されています。

※ 空気抵抗は無視します。前回の記事では、物体を真上に投げ上げる「投げ上げ運動」について議論しました。今回は、これを少し発展させ、斜め上に投げた場合の、いわゆる「放物運動」と呼ばれる運動について考えたいと思います。やる計算は、前回と殆ど同じ GISを用いたデータの可視化と問題発見~統計GISでAED設置地域の人口密度を分析, 高等学校情報科「情報Ⅰ」教員研修用教材(JavaScript版)向け追加サンプルコード, 繰り返し上限数。文科省の教員研修資料ではこの値は変数化されておらずコード中に直接1000と指定されている。, 初速度。文科省版では30が指定されている。条件を変えてシミュレーションしたいときにはこの値を変えることになる。, 重力加速度。地球の重力加速度は9.8m/s²なのでこの変数にも9.8m/s²が入る。月の斜方投射をシミュレーションしたいときにはこの値を減らすことになる。, 投げ上げ角度をラジアンで代入する。角度60度や45度はラジアンではなくdegなので 変換してから代入する必要あり。, 鉛直位置。投げはじめは上昇を続けるが重力によって途中から下がって最後は地面に着地する。, 水平速度。今回の設定では空気抵抗がないことになっているため繰り返し中では一切変化しない。.



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